Tots i cadascun dels elements, de les estructures i dels objectes de l’univers estan configurats i determinats per lleis matemàtiques, cosa que possibilita que en qualsevol objecte puguem cercar matemàtiques o que a través seu se’ns possibiliti la descoberta de multitud de fenòmens matemàtics. La vida i l’entorn, en conseqüència, són el millor llibre de matemàtica i cal acudir a aquesta realitat i utilitzar-la per fer-la palesa.
I Déu va crear el món amb llenguatge matemàtic.
Galileu
L’univers és matemàtic
L’aprenentatge matemàtic té per objectiu aconseguir una ment que raona de manera crítica, que sigui capaç de cercar l’abstracció i generalització dels fets i fenòmens, i que sàpiga interpretar matemàticament la realitat física i social que l’envolta.
El camí vers l’abstracció i la generalització matemàtica és semblant a un projecte d’escalada per coronar grans cims. Resulta imprescindible fer una adequació gradual del cos a l’altitud tot utilitzant diversos camps començant necessàriament pel camp ba-
se u, ja que fer-ho a camps superiors seria molt perillós per a la supervivència.
Metodològicament en tot aprenentatge, i en el matemàtic especialment, cal atendre aquesta adquisició com una conquesta que cal fer a través d’uns camps evolutius o unes fases didàctiques (Callís, 2008). El primer camp base és la vivenciació del problema, és a dir entrar-hi en contacte real, i a partir d’aquí, cal integrar compren-sivament els fenòmens que es generin amb la manipulació experimental, factor que possibilitarà iniciar l’escalada a la comprensió de la simbolització i el posterior assoliment de processos d’abstracció i generalització.
Objectes i realitat, recursos imprescindibles per a l’aprenentatge
L’evolució humana té un moment clau en el procés d’humanització quan els prehomínids alliberen les seves extremitats superiors. Poder utilitzar les mans permetrà l’evolució cerebral i, per tant, desenvolupar el raonament. Aristòtil sentencia que «l’home té la intel·ligència a les mans», i Maria Montessori que «el nen té la intel·ligència als dits».
La història de la humanitat mostra que en totes les cultures el contacte amb la realitat i l’ús d’objectes ha estat determinant per estructurar les seves matemàtiques, i en totes s’han generat estratègies i materials per millorar l’aplicació i la resolució matemàtica. De segur que l’home prehistòric per quantificar i controlar per exemple els seus ramats, i saber que no se n’havia perdut cap animal, podia fer relacions biunívoques entre cada cap de bestiar que sortia i una pedreta, de manera que per controlar si al retorn hi havia tot el ramat, només necessitava fer la relació inversa, o sigui que per cada pedreta hi havia d’haver un animal. Entre d’altres objectes culturals creats específicament per al domini i la comprensió matemàtica podem mencionar les varetes hung i tsung xineses, la corda de nusos egípcia, els àbacs en el càlcul romà i en el xinès, els quipus inques, els materials Montessori, les regletes de colors de Gattegno i Cousinaire, els multibases Dienes, els blocs lògics, els geoplans, els tangrams… o les calculadores i els recursos informàtics actuals.
Potenciar el contacte amb objectes tangibles desenvolupa les estructures cognitives, factor necessari per aconseguir un aprenentatge comprensiu dels continguts de les diverses àrees del coneixement, alhora que desvetlla multitud d’habilitats socials i estratègies resolutòries.
Aprendre matemàtiques amb cordes
Si bé tenim a l’abast multitud de materials específics per desenvolupar aprenentatges matemàtics, cal saber llegir les matemàtiques que ens ofereix qualsevol objecte com pot ser una escala, una cadira, una corda, un plat, un llibre, una flor, una formiga, el cos humà… Evidentment, en aquest cas, cal reflexió, imaginació i creativitat per dissenyar situacions generadores d’aprenentatge.
L’objectiu d’utilitzar objectes simples que es trobin a l’abast de la mà és saber extreure aprenentatges interdisciplinaris diversos (matemàtics, tecnològics, físics, culturals, lingüístics…). Em centraré, aquí, en l’aprofitament d’objectes d’unidimensionalitat longitudinal com poden ser: cordes, cintes, filferro…, una experiència formativa portada a terme amb mestres dels grups de treball d’«a+a+» que hi ha repartits pel país i que, posteriorment, l’han portat a terme en aules de Primària i d’Infantil amb resultats positius.
Donada la limitació que imposa l’article només exemplificarem sintèticament algunes de les moltes i moltes possibilitats d’activitats a fer que poden portar-se a terme en cicles diversos segons el nivell conceptual que es vulgui aconseguir.
Propostes per a Educació Infantil i Cicle Inicial
- Classifiquem i ordenem cordes. A partir d’un conjunt de cordes diverses cal cercar maneres diferents de classificar-les (color, gruix, trenat, llargada…) i fer-ne la corresponent ordenació en cada un dels conjunts formats.
- Composició i descomposició numèrica. Dividim cordes o cintes en parts iguals (cinc, deu, vint…) tot marcant-hi el valor numèric a cada una de les parts. Es pot treballar de manera que la cinta passi per dins d’un tub en què hi ha una obertura per on es poden veure els números posats a la corda. Cal treballar per parelles, un estira la corda pel seu costat fent que aparegui un número per l’obertura (per exemple, si treballem amb la corda del 10 i hi apareix el 6, l’altre ha d’endevinar quants en té ell, o el que és el mateix, quants en resten per arribar al 10).
Cicle Mitjà
- Sistema de numeració. Donades quatre cordes unides per un extrem cal cercar estratègies comunicatives per tal que amb aquestes cordes es comuniquin valors quantitatius. A partir de nusos fets en les cordes situant en la primera els valors de les unitats, en la segona de les desenes, en la tercera de les centenes i en la quarta dels milers, es pot comprendre com funcionaven l’àbac romà i xinès i els quipus inques. Pot utilitzar-se per a aprenentatges operatius.
- Tipologia de nusos. Cercar maneres diferents de nuar cordes i conèixer els nusos més comuns.
- Geometria de les taules de multiplicar. Sobre un cercle dividit en deu parts on hem situat els valors del 0, a la part central superior, al 9, de manera correlativa i amb un pivot a cada número, es tracta d’unir amb la corda i de manera correlativa la seqüència dels valors que indiquen les unitats de cada un dels termes de la taula. Així, en la del 2, seria 0 (2×0); 2 (2×1), 4 (2×2), 6, 8, 0. En la del 3, 0, 3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7, 0. Etc.
Cada taula genera una forma geomètrica que es repeteix en la taula simètrica si la 5 és l’eix. Així, per exemple, la del 2 i del 8 formen un pentàgon auri, la diferència és en la direcció del gir: un dextrogir en una i un levogir en l’altra. La de l’1 i 9, un decàgon; 4 i 6, un pentàgon estrellat; 3 i 7, un decàgon estrellat.
- Fraccions. Amb cintes de la mateixa longitud caldrà cercar la manera de dividir-les en dos, tres, quatre, cinc, sis, set… parts iguals i que cada part assenyali el valor fraccionari que representa; així, per exemple en la cinta dividida en cinc parts hi haurà: 1/5; 2/5; 3/5; 4/5, i 5/5. El repte comporta la descoberta de tècniques de divisió en parts iguals que, si bé resulta simple en les divisions de les potències de dos, en els altres casos cal cercar procediments diversos. L’activitat possibilita la comprensió que en tota fracció, quan el numerador és igual al denominador, equival a la unitat; que amb igualtat de numerador (1/3, 1/5, 1/7, 1/9…), com més gran és el denominador, més petita és la fracció; o que amb igualtat de denominador, com més gran és el numerador, més gran és la fracció (2/3 > 1/3, 3/4 > 2/4 > 1/4…).
Cicle Mitjà, Superior, ESO
- Optimització superficial i espacial. Donada una corda d’una determinada longitud cal aconseguir que es disposi de la manera que tingui la mínima ocupació superficial. L’activitat desenvolupa descobertes d’optimització constatant que l’espiral és la forma geomètrica que possibilita ocupar la mínima superfície amb la màxima longitud. Tot seguit es plantejarà el repte d’aconseguir que ocupi el mínim espai i en aquest cas portarà a la descoberta de l’esfera com a optimització volumètrica.
- Relacions entre perímetre i àrea i optimitzacions superficials. Amb una corda que unim pels extrems fem diferents polígons: triangles, quadrilàters, pentàgons, hexàgons… Tot seguit investiguem quants alumnes caben dins de la figura construïda. Descobrim que un mateix perímetre no significa tenir la mateixa àrea, que els polígons regulars són l’optimització superficial de la seva família (els quadrats, la dels quadrilàters; el triangle equilàter, la dels triangles…), i que com més costats, més superfície, i que, per tant, el cercle és l’optimització superficial.
- Generació de formes pel moviment. Demanarem que amb una corda es procuri cercar tants moviments diferents com sigui possible. Es farà voltar la corda subjectant-la per un extrem generant una circumferència. Agafada pels dos costats —és el cas de jugar a saltar a corda—, constatarem que es descriu un moviment que no genera la circumferència sinó que dibuixa una el·lipse. Es constatarà que això és possible sempre que la distància de fixació dels dos extrems sigui menor que la longitud de la corda, i que quan aquestes distàncies són iguals no hi ha moviment i per tant no hi ha generació de cap forma. Si en comptes de fer el moviment rotatori de saltar, ara agafem la corda i fixem els dos extrems sobre una superfície en què puguem dibuixar, amb un retolador tensem la corda fins on puguem i a partir d’aquí, i sempre tensant-la tant com es pugui, resseguim el moviment que ens permet la corda, va quedant dibuixada l’el·lipse, però en aquest cas podem comprovar que qualsevol punt de l’el·lipse té la propietat que necessita de la longitud total de la corda, separada en dues parts, una des del punt de l’el·lipse a un dels punts de fixació (focus), i l’altra des d’aquest punt de l’el·lipse a l’altre focus. Propietat a partir de la qual caldrà definir l’el·lipse i contraposar a la de la circumferència. L’activitat permet treballar i definir la generació de formes geomètriques corbes segons els punts de fixació.
Cicle Superior i ESO
- Espirals i hèlixs. Fixarem un extrem de la corda en un objecte cilíndric (bastó…) i enrotllarem la corda al voltant del cilindre; també ho farem idènticament amb un objecte de forma cònica. Situarem a terra un paper d’embolicar i al centre, el cilindre o el con amb la corda enrotllada; a l’extrem lliure de la corda cal posar-hi un element que permeti escriure (llapis, bolígraf, guix, bastó…) per tal que a mesura que desenrotllem vagi dibuixant sobre el paper o a terra. Prèviament cal que els alumnes estimin i dibuixin el que creuen que sortirà. L’activitat ens portarà a la descoberta de l’espiral arquimediana i l’espiral pitagòrica, amb les seves característiques i diferenciacions, i a constatar que són formes que es generen a causa del gir i la translació sobre el pla. Si ho fem en l’espai es generen les hèlixs.
- Probabilitat i tendència a π. Llancem cordes de diferents mides a l’aire i quan queden a terra, cerquem l’índex existent entre la llargada i l’amplada de la forma tal com ha quedat. Relacionem aquests valors aconseguits amb aquest mateix índex aplicat a conques hidrogràfiques. Permet visualitzar formes a partir d’índexs relacionals i treballar estadística i probabilitat.
- Geometria i cos humà. Es proposa a una persona que s’estiri a terra i situï el cos de manera que en unir amb cordes els extrems de les posicions adoptades es construeixin unes determinades formes geomètriques (triangles, quadrat, rectangle, pentàgon, hexàgon). Es treballen aspectes de proporcionalitats humanes, home de Vitrubi, pentàgon auri…
- Tecnologia constructiva i teorema de Pitàgores. Es dibuixa una línia a terra i en un extrem cal dibuixar-ne una altra que talli perpendicularment la primera amb total exactitud de 90 graus sense disposar de cap semicercle. Sorgiran alternatives diverses utilitzant elements que es considera que tenen perpendicularitat. Cal aprofitar l’avinentesa per conèixer el mètode de l’antic Egipte i avui encara utilitzat per molts paletes: s’agafa una corda de 12 cm i se senyalen el 3 i el 7, valors del triangle pitagòric 3, 4 i 5. Se situa el 7 en l’extrem de la línia i fins al 12 se situa sobre la línia que tenim, es doblega la corda des del 7 intentant que del 7 a l’1 sigui més o menys vertical; es fixa el 3 i després es doblega des del 3 intentant que l’1 coincideixi exactament en el 12. Quan s’aconsegueix, l’angle és exactament de 90 graus. Pot fer-se amb valors dobles, triples… dels indicats segons convingui.
- Optimització i resolució de problemes. Cal cercar maneres diferents d’embolicar una capsa (prisma rectangular) gastant la mínima quantitat de cinta tenint en compte que ha de passar per cada una de les sis cares.
Evidentment les cordes es poden utilitzar per treballar la mesura longitudinal; tipologia de formes poligonals obertes i tancades; psicomotricitat fina enfilant boletes i fer seriacions; teixir formant figures geomètriques, itineraris i camins; coordenades i posició en el pla i en l’espai; angles i interseccions angulars; jocs amb cordes; tècnica d’elaboració de cordes; índex de resistència al trencament; usos professionals de les cordes…, i tot allò que la vostra imaginació vulgui afegir-hi.
Josep Callís i Franco
Coordinador dels grups de treball «a+a+»
Departament de Didàctica de les Matemàtiques,
Universitat de Girona
Per saber-ne més
Callís, J. (2008). «El què, com, quan i per què de la manipulació». Manipular per aprendre, Perspectiva Escolar, 329. Barcelona: Rosa Sensat.
Ghevergerhese, G. (1991). La cresta del pavo real: Las matemáticas y sus raíces no europeas. Madrid: Pirámide (Ciencia Hoy).
Mason, J.; Burton, L.; Stancey, K. (1989). Pensar matemáticamente. Madrid: MEC-Labor.
Mialaret, G. (1986). Las matemáticas: cómo se aprenden, cómo se enseñan. Madrid: Aprendizaje Visor.
Santaló, L. (1975). L’educació matemàtica avui. Barcelona: Teide.
