Monogràfic. Investigant el desenvolupament matemàtic de l’alumnat reduïm dificultats d’aprenentatge

El perquè? Causes i motivació

A finals del curs passat es van donar a conèixer al claustre els resultats de les diferents àrees de les proves finals fetes als nostres alumnes, tant externes com internes. En matemàtiques tots els cicles van presentar una baixada important dels resultats en el bloc de numeració i càlcul. Atès que algunes mestres ens havíem in-corporat al grup de treball a+a+ i havíem aprofundit en l’aprenentatge del nombre i de l’operativitat, es va proposar al claustre de passar als nostres alumnes una prova diagnòstica dissenyada pel grup per tal de detectar l’adquisició del comptatge. A partir dels resultats que s’obtinguessin es podria observar amb un criteri més objectiu on calia posar més atenció i fer incís per poder-los millorar. Alhora, volíem cercar també informació sobre la situació en què es troba el nostre alumnat respecte a l’ad-quisició de la conservació de la quantitat, factors, ambdós, que conjuntament amb el tractament de l’aprenentatge del nombre resulten essencials per poder comprendre i poder efectuar, més endavant, les diferents operacions bàsiques.

Cal remarcar que aquesta decisió venia amb l’aval de l’experiència tinguda en altres escoles integrades també en algun dels diversos grups de treball d’a+a+ ubicades en diferents comarques de Catalunya i que, davant de dificultats semblants a les nostres, havien dut a terme aquesta inves-tigació sobre aquests dominis. Els resultats obtinguts els permeteren, posteriorment, millorar l’aprenentatge del seu alumnat.

La necessitat de la fonamentació teòrica Per plantejar un procés diagnòstic de l’estat evolutiu de l’alumnat cal una base teòrica a partir de la qual puguem cercar informació i recollir dades per tal de saber on som. En el nostre cas, el procés per determinar el grau de domini del comptatge i, per tant, detectar la tipologia de dificultat que pogués tenir l’alumnat, el fonamentem en l’enfocament del model de Gelman i Gallistel segons el qual l’adquisició del comptatge passa per les fases de: Domini de la correspondència biunívoca o d’un a un. És la comprensió que cada objecte ha de ser comptat i que ho ha de ser una única vegada. En aquesta etapa es poden presentar disfuncions tals com les dificultats de partició, en què l’infant enumera més d’una vegada un objecte o bé se’n salta algun. Altres problemàtiques són les dificultats d’etiquetatge —repeteix el nom dels nombres en més d’un objecte o bé els diu on no correspon—. Una altra tipologia de dificultat rau en el problema de la coordinació —se segueix comptant després d’acabar els objectes o s’acaba abans.

• Domini de l’ordre estable. La paraula número ha de ser utilitzada en un ordre invariable.
• Domini de la cardinabilitat final. La paraula que s’utilitza en el comptatge d’un determinat element integra el valor del conjunt.
• Capacitació en la comprensió del prin-cipi d’abstracció. Saber discriminar les situacions comptables de les que no ho son.
• Domini de la irrellevància de l’ordre. El resultat d’un comptatge no varia encara que es modifiqui l’ordre del comptatge.

En conseqüència les activitats que es proposen a l’alumnat cerquen veure si es presenten o no les dificultats que poden aparèixer en cada fase.

Disseny i organització Atesa la voluntat del claustre de fer aquest pas endavant per tal de conèixer la realitat del nostre alumnat en relació amb el do-mini del comptatge i alhora detectar si hi havia cap problemàtica concreta derivada d’aquest domini, l’equip directiu, junta-ment amb l’equip de coordinació, va decidir que la prova es passaria de primer a sisè per tal de poder fer una anàlisi més exhaus-tiva de l’escola amb una visió vertical. La prova calia passar-la de forma oral, i per això va caldre adaptar-la al nostre entorn, de manera que havíem d’assegurar que la majoria dels nostres alumnes entenguessin què se’ls demanava. De manera majoritària es va aplicar a mitjan primer trimestre del present curs, mentre que a P5 es passarà a finals de curs. Ens va caldre reflexionar per preparar les preguntes que calia fer en cadascun dels exercicis de la prova per tal que diferents persones la poguessin aplicar sense que es modifiquessin gaire el plante-jament i els procediments d’aplicació i així evitar que es poguessin crear confusions. Concretat l’acord amb el claustre, aquest es materialitzà en una fitxa informativa lliurada a cada mestre.

Es va procurar que la prova la passés el mínim de gent possible, però per organit-zació d’escola hi van acabar intervenint quatre persones. De primer a tercer la van fer tres persones, i de quart a sisè, només una. Es van emprar hores de reforços o els moments de desdoblaments, quan hi ha dues persones a l’aula. Les proves són individuals i es triga a fer-les uns deu mi-nuts en el cas dels més petits i uns set en el dels més grans. Habilitàrem un espai al passadís i es cridava de manera individual per així poder treballar sense que es produís còpia de resolucions. La prova la vam dividir en cinc subpro-ves, intentant diferenciar en cadascuna d’aquestes els subnivells que es detallen en el model de Gelman i Gallistel. En la primera cerquem detectar el domini de la capacitat de correspondència biunívoca; en la segona observem alhora la fase de l’ordre estable i la cardinabilitat final; en la tercera, la irrellevància de l’ordre; en la quarta, l’abstracció, i en la cinquena detectem el domini de la conservació de la quantitat, on valoràvem tres nivells:

• nivell 1: absència de conservació (estadi preoperatori);
• nivell 2: conservació inestable, en la qual, a part d’igualar quantitat, aquesta es veu influenciada per propietats sen-sorials (longitud, formes, posicions…) que té la proposta que se li presenta i que intenta imitar, alhora, amb difi-cultats d’argumentació lògica (nivell intermedi); i
• nivell 3: conservació estable, en què s’igualen quantitats sense cap tipus d’intent d’igualació d’imatges percep­tuals i amb justificació d’arguments lògics (nivell operatori).

A cada cicle en el cas del comptatge es demanava un nivell de dificultat diferent i sempre utilitzant valors que, d’entrada, es considerava que havien d’estar molt ben consolidats. A cicle inicial es feia comptar fins a deu, mentre que a mitjà i superior fins a vint. I fins a valors superiors quan calia.

Informació i orientació

Al mateix temps, i per tal d’unificar pro-cediments d’aplicació, s’elaborà un do-cument en què es determinaven els objectius de les proves, s’explicava en què consisteix la recerca i quines són les condicions per passar les proves, i cal recollir les dades. Aquesta documentació es lliurà a cada mestra perquè en tingués coneixement.

Material

El material necessari per passar les proves es va posar en dues caixes: la de CI i la de CM i CS. Dins la caixa i guardat amb bosses degudament etiquetades hi ha el necessari per poder aplicar cada una de les diferents proves. A més a més, hi ha una còpia de les graelles explicatives dels objectius i les normes d’aplicació i de registre.

Aplicació

Al llarg de l’aplicació ens sorgiren molts dubtes: «Ho haig de fer així?»; «Puc dir-ho d’una altra manera?»; «El puc ajudar més?»; «Li dono una pista, o dues?»…, però a mesura que anaren passant alumnes anà­rem agafant unes estratègies i dinàmiques que ens permeteren actuar igual amb tots.

Resulta imprescindible concretar com s’ha de recollir la informació a partir de les di­ferents situacions que apareixen, ja que no tots els alumnes responen ni actuen igual.

Recollida de les dades

El resultat de cada un dels nens i nenes s’anota en la fitxa de recollida de resultats per tal que es pugui, al final, fer el cor­responent estudi estadístic que possibiliti detectar la situació personal de cada nen/a i, alhora, la situació existent en cada nivell, cicle i escola en la seva globalitat.

Analitzant i valorant els resultats

Buidats els resultats obtinguts, podem fer una breu síntesi:

a) A Cicle Inicial hem vist amb relació al comptatge que hi ha un bon assoliment (entre un 96% i un 100%) respecte a la comprensió i el domini de la correspon­dència u a u. Això no obstant, pel que fa a la irrellevància de l’ordre, es detecta clarament que hi ha força dificultats, ja que el percentatge d’assoliments baixa notablement i se situa en una mitjana del 50% i en una forquilla de variabili­tat que oscil·la entre el 32% i el 75% d’assoliment. Resulta evident, doncs, que ens cal intensificar aquests dominis si volem evitar que un nombrós grup del nostre alumnat no es despengi de l’aprenentatge numèric.

En el cas del domini de la conservació de la quantitat, els resultats ens mostren més dèficit i resulten estar poc desenvo­lupats. Només en un percentatge mitjà que oscil·la entre el 40% i el 50% es presenta un domini de la conservació on ja es prescindeix de qualsevol igualació perceptual.

Aquestes observacions posen sobre la taula els reptes de futur, de manera que ens cal incidir molt en aquests dominis, ja que aproximadament la meitat de l’alumnat presenta dificultats que li podran generar incomprensió en la quantificació i posterior comprensió numèrica i operativa.

b) A Cicle Mitjà s’observen encara algunes dificultats en la correspondència u a u, ja que apareixen errors (en un 25% de casos) en el procés d’etiquetatge. Només entre el 60% i 70% superen sense errors la prova de la irrellevància de l’ordre. Tot i semblar que compta oralment bé, és evident que hi ha alumnat que no té ben assolida la comprensió numèrica del comptatge. Si tirem endavant sense solucionar aquest dèficit, construirem sobre fonaments fràgils.

En el domini de la conservació de la quantitat també apareixen casos en què no es domina.

c) A Cicle Superior es veu una gran diferèn­cia entre els dos nivells. A cinquè, en la correspondència u a u, hi veiem una oscil·lació de percentatges entre el 44% i el 96% d’assoliment, en canvi a sisè l’assoleixen el 82%. En la irrellevància de l’ordre hi ha molta diferència entre un dels cinquens, on aproximadament només el 50% presenta un assoliment correcte, enfront dels altres tres grups, que obtenen uns resultats d’un 90% d’assoliment correcte. Respecte a la con­servació de la quantitat trobem una gran diferenciació: a cinquè els resultats són més preocupants, atès que un dels grups mostra un 40% de diferència respecte als altres. En canvi, a sisè assoleixen la prova un 95% dels alumnes.

Hem observat que, en bona mesura, molta part de la dificultat ve determi­nada pel fet d’haver de raonar l’acció feta i que en aquests casos cal aplicar el raonament lògic. Som conscients, però, que els valors de deficiència que ens mostren els resultats deuen ser, se­gurament, superiors a la realitat perquè queden incrementats per la dificultat del raonament.

Presa de decisions

Un cop fet el buidatge i valorats els re­sultats, es presentaren al claustre i es va fer una reunió per cicles per poder reflexionar de forma més directa sobre què cal fer davant de les dificultats que es manifesten. En cada cas es van plantejar un seguit de propostes d’activitats per millorar el domini d’aquestes situacions detectades. Es va veure la necessitat d’intensificar i de fer treballs més viven­cials i manipulatius d’ordenació directa de nombres, de potenciar el treball amb el suport de la recta numèrica i del plafó numèric, d’intensificar els treballs d’or­denació i de verbalització de quantitats, d’estructurar i muntar un racó de lògica en tots els cicles de manera permanent i, de cara al curs següent, d’aprofitar les hores de departament de matemàtiques per crear nous materials per poder incidir amb més eficàcia en aquests dominis que hem detectat deficitaris, i d’estructurar i fer un recull de tots els jocs matemàtics de l’escola. El conjunt de propostes de cada cicle es posà en coneixement de la resta de cicles per tal que les puguin portar a terme a les seves aules.

Per concloure

• Som conscients que els resultats tenen una validesa relativa, ja que no sempre tots hem aplicat la prova exactament igual, i per això, per millorar-los, caldria que fos passada per una única persona, o per molt poques i amb criteris molt més unificats. També som conscients que aquests resultats són modificats per altres factors com és la capacitat de raonament. No obstant això, sí que ens serveixen per adonar-nos de l’existència d’un problema que no teníem detectat i no havíem valorat mai. Els resultats ens permeten entendre millor alguns casos particulars d’alumnes amb dificultats per seguir els aprenentatges.
• Ens hem adonat que hi ha aspectes que es treballen a Cicle Inicial que es deixen de treballar a mesura que anem avançant en els altres cursos suposant que l’alumnat ja domina els continguts.
• El fet que un alumne sàpiga enunciar oralment un comptatge no significa que n’entengui el sentit profund. En aquests casos, a l’alumne li resultarà molt incomprensible el món numèric que anem construint curs rere curs. Si no té ben sedimentades les bases, li resultarà complicat i molt difícil tirar endavant.
• Constatem que posem una gran prioritat en la part més operativa i que ens des­preocupem de voler saber i comprovar si realment els continguts necessaris per continuar el camí de l’aprenentatge matemàtic estan interioritzats o no; es pressuposa que els alumnes tenen as­solits molts aspectes del comptatge que realment no tenen i que són im­prescindibles i necessaris per arribar a l’abstracció del nombre.
• Cal fer una revisió metodològica global per tal de millorar i reduir les dificultats d’aprenentatge. Treballem directament la simbolització i l’abstracció sense ha­ver passat prèviament per les fases de vivenciació i manipulació, i això repercu­teix negativament en la comprensió i, per tant, en la consolidació i interiorització de l’aprenentatge.
• És imprescindible poder agafar un com­promís col·lectiu d’escola; fer una reflexió profunda i intensa a partir de la detecció de les dificultats d’aprenentatge per tal d’arribar a un compromís d’actuacions que ajudin a solucionar-los, tot i que això impliqui fer canvis d’estructures base. Cal implicar-se personalment en la innovació didàctica per poder millorar l’aprenentatge del nostre alumnat.
• No s’ha de perdre de vista que en tot procés de recerca cal fer sempre una reflexió prèvia i una reflexió final quan ja es tenen els resultats i aquests ens permeten visionar l’adquisició de di­ferents continguts d’una manera més vertical. Observar de manera objectiva els aspectes en què cal posar més aten­ció i aprofundir en el seu domini porta a la reflexió de la necessitat del canvi didàctic.
• Evidentment, per tal de dinamitzar reflexions i recerques dels estadis d’evolució del nostre alumnat sobre qualsevol domini matemàtic o altres àrees, cal tenir un domini teòric sobre aquests continguts, formació de la qual, com a professionals, ens sentim man­cats, i a la qual cal posar atenció tant en la formació inicial com en la formació permanent dels mestres.Per saber-ne més
  Chamorro, M.; Belmonte, J.; Ruiz, M.; Vecino, F. Didáctica de las matemáti­cas para educación infantil. Madrid: Prentice Hall, 2006.
  Gelman, R.; Gallistel, C. The child’s un­derstanding of number. Cambridge: Harvard University Press, 1978.
  Kamii, C. El número en la educación pre­escolar. Madrid: Aprendizaje Visor, 1995.

ESTER ORTEGA BARBANY
SÒNIA ALTARRIBA NOGUER
Membres del grup a+a+
Baix Montseny